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Bei Family Link geht das leider nur global für ein bestimmtes Gerät. Aber guter Punkt: Vermutlich muss man für automatische Updates nicht nur Family Link wie oben beschrieben konfigurieren, sondern auch Threema erlauben, dass es eine APK (für den OP: die Installationsdatei für die App) installieren darf. Das ist aber Spekulationen meinerseits. Vielleicht ist das bei "eigenen" App Updates anders.

[…] Ja, außer man kann nur der Threema App erlauben, Apps von unbekannten Quellen zu installieren. Dann würde das Selfupdate weiterhin funktionieren.

Nach der Installation kann und sollte man die Berechtigung wieder entziehen. Vermutlich muss man das aber bei der Installation eines Updates wiederholen.

Derzeit gibt's noch kein plattformübergreifendes Datenbackup. Die Datenbank der Desktop 2.x App auf einen anderen PC übertragen wäre sehr einfach, aber das ist ja nicht das, wonach du suchst.

Ach so, wenn Threema nicht über Google Play installiert werden soll, dann muss man die Installation über unbekannte Quellen für das Gerät erlauben (hab mein Handy auf Englisch eingestellt):