Habe es heute noch einmal komplett mit iMazing probiert. Backup vom 14er gemacht, danach die App-Daten von Threema auf die Festplatte gesichert ("App Daten sichern").
Auf dem 16er Threema gelöscht (zur Sicherheit) und dann über iMazing ("App Daten wiederherstellen") die lokale Threema-Sicherung auf das 16er kopiert.
Erst einmal war es wieder so, dass Threema offline war, auch der Tipp mit den Push-Notifications hatte keine Besserung gebracht. Dann ist mir aufgefallen, dass Threema noch mit der "Beta for Desktop" verknüpft war. Das Löschen dieser Verknüpfung war die Lösung, Threema war sofort wieder online und funktioniert seit dem einwandfrei. Die "Beta for Desktop" konnte dann wieder verknüpft werden und läuft auch.
Vielen herzlichen Dank für den Tipp mit iMazing, von wem auch immer der noch kam. Allerdings muss man "gute Nerven" nach dem Neustart des iPhone machen, weil es erst einmal so aussieht, dass das Gerät komplett neu installiert wurde und man kritische und gefährliche Fragen zur Installation beantworten muss.