Hallo Snoopy!
Vielen Dank für Deine ausführliche Antwort.
Ich habe zwischenzeitlich mit der Apple-Hotline gesprochen und die vermuten, dass mein iTunes-Backup irgendeinen Bug hat und es deshalb nicht funktioniert hat.
Ich sollte jetzt doch den Weg des iCloud-Backups versuchen und dann nochmal alles von vorne.
Das iPhone 8 plus habe ich selbstverständlich noch und alle Daten sind da auch noch drauf. So schnell werde ich das nicht löschen! 
Ich hab Threema vom neuen iPhone gelöscht und auf dem alten iPhone läuft es noch ohne Probleme. Ich habe da nochmals meine ID exportiert und darauf geachtet, dass das Backup ins Geräte-Backup mit aufgenommen wird und dann erst das iCloud Backup gestartet.
Ob das Backup - welches gerade in die iCloud lädt - dann "gut" ist, kann ich noch nicht sagen. Ich hab nämlich knapp 240 GB von 256 GB belegt auf dem alten iPhone. Aktuell rödelt das iCloud-Backup seit 3 Stunden und soll noch weitere 6 Stunden laufen. Wäre laut Apple normal, wenn man das erste Mal ein iCloud Backup erstellt in der Größe.
Über den Schnellstart bin ich heute morgen übrigens gegangen und hab das neue iPhone erst an iTunes angeschlossen, als ich gefragt worden bin, ob ich es aus der iCloud- oder aus dem iTunes-Backup wiederherstellen möchte.
Ich hatte Threema Safe übrigens so verstanden, dass gerade die Chats nicht mit übertragen werden und das nur funktioniert, wenn man ein Datenbackup macht. Also ID-Export sowie ins Gerätebackup mit aufnehmen. Oder hab ich da was falsch verstanden?
Hattest Du ein iCloud- oder iTunes-Backup von Deinem alten iPhone?