Hallo Titus,
eventuell versuchst du (vergeblich), ein Backup von Threema Safe einzuspielen. Threema Safe ist eine automatisiertes Backup, das regelmässig verschlüsselte Backups (ohne Chatverläufe und Medien) auf einem Threema Server hinterlegt. Threema Safe muss allerdings in der Threema App händisch aktiviert werden.
Das könnte eventuell erklären, warum du an einem Server nicht weiterkommst und diese Fehlermeldung bekommst.
Wenn der Schnellstart zwischen den beiden IPhones abgeschlossen ist, sollte das verschlüsselte Backup des alten Iphones auf deinem neuen Gerät vorliegen.
Bei der anschließenden Neuinstallation von Threema sollte daher keine Notwendigkeit für eine weitere Serverabfrage bestehen und die Installation aus dem lokalen Backup erfolgen.
Nur bei einer Wiederherstellung aus einem Threema Safe Backup wäre dies notwendig.
Falls das Problem schon beim "Schnellstart" von Apple auftreten sollte, liegt es gegebenefalls an der Verbindung zur ICloud. Hier könnte eine Migration über ein ITunes Backup eine Lösung sein.
Hier nochmal die Anleitung zur Migration von einem auf ein anderers IOS Gerät:
Quelle: Threema FAQ (https://threema.ch/de/support)
Ansonsten scheinen hier gerade nicht viele Ideen im Raum zu schweben. Falls das nicht funktioniert, wende dich doch an den offiziellen Support. Aus Eigeninteresse würde mich dann aber die Lösung deines Problems interessieren